开方公式

开平方运算

开平方运算

编辑本段如何手动开平方

介绍一种比较老的计算方法给你，先把要开的数在小数点开始每

隔2位数用’分开，数位不够就补0，例如要开655。8721的2次就

把数字这么隔开6’55。87’21’00不够的可以补0，首位是6，

2^2＜6＜3^2，所以首位是2，把2填在6的上方，把2^2即4填在

6的下方像做除法那样，用6-2^2=2，把55补下来即255，拿2（2

是6上面的2）×20=40，拿255÷40=6.375≈6，（40+6）×6=276

＞255，所以取5，即655。8721的55上的数字是5，（40+5）

×5=225＜255，255-225=30，把87拿下来就是3087，而前面得到

655上的数字是25，拿25×20=500，3087÷500=6.174≈6，

（500+6）×6=3036＜3087，所以取6，即6就是655。8721的87

上的数，.3087-3036=51，把21补下来就是5121，而现在已经得到

的数是25。.6拿256×20=5120，5121÷5120≈1，（5120+1）

×1=5121，5121-5121=0，最后的数字就是1，完毕。这个过程写出

来就和算除法一样，如果你真的有心要学会手算开2次方，就拿笔把

这个过程写成竖式，多拿些数练习就掌握了。这是开2次方，至于开3

次方，5次方等等过程将更复杂，所以现在会手算开方的人也就越来越

少了。

不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？先一

起来研究一下，怎样求，这里1156是四位数，所以它的算术平方根

的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键

在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行

分析．

根据两数和的平方公式，可以得到

1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2，

所以1156－30^2=2×30a+a^2，

即256=(20×3+a)a，

这就是说，a是这样一个正整数，它与20×3的和，再乘以它本

身，等于256．

为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：

根号上面的数3是平方根的十位数．将256试除以20×3，得4(如

果未除尽则取整数位).由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4

就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得

到1156=34^2，或√1156=34.上述求平方根的方法，称为笔算开平

方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如

下

开方的计算步骤

1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇

号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数；

2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中

的3）；

3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上

第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；

4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整

数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是4，即试商是4）；

5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得

的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大

于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商

4就是平方根的第二位数）；

6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例

如求的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个

竖式得到

笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可

求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．

我国古代数学在开方上的成就

我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经

典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔

算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的

介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．

编辑本段开立方公式

如何开立方

设A=X^3,求X.称为开立方。开立方有一个标准的公式：

X(n+1)=Xn+(A/Xn^2-Xn)1/3(n，n+1是下角标）

例如，A=5，,即求

5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次

方=8）

初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，

都可以。例如我们取X0=1.9按照公式：

第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。

即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-

0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数

值,，即1.7。

第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，

1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.

第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出

来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;

当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任

何一个,都是X1=1.7>。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，

即1.5。1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。

如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即

X(n+1)=Xn+(A/Xn?Xn)1/2.

例如，A=5：

5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，

2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。第一

步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，

取2位数2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，

2.2+0.036=2.23。取3数。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-

2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错

误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

开5次方公式

顺便介绍开5次方公式：

X(n+1)=Xn+(A/X^4-Xn)1/5.(n，n+1是下角标）

例如：A=5;

5介入1的5次方至2的5次方之间。2的5次方是32，5靠近

1的5次方。初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，

1.9.例如我们取中间值1.4；

1.4+（5/1.4^4-1.4)1/5=1.38

1.38+（5/1.38^4-1.38)1/5=1.379.

1.379+(5/1.379^4-1.379)1/5=1.3797.

计算次数与精确度成为正比。即5=1.3797^5.。