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2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学（理工类）

数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上；

2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

擦干净后，在选涂其它答案标号。

3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

特别提醒：

（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一

项是符合题目要求的。

（1）已知集合1,2,3A，2,3B，则（）

（A）A＝B（B）AB∩（C）AB（D）BA

（2）在等差数列

n

a中，若

24

4,2aa，则

6

a＝（）

（A）－1（B）0（C）1（D）6

（3）重庆市2013年各月的平均气温（ºC）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是（）

（A）19（B）20（C）21.5（D）23

（4）“1x”是“

1

2

log(2)0x的”（）

（A）充要条件（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

（A）

1

3

（2）

2

3

（3）

1

2

3

（4）

2

2

3



（6）若非零向量

,ab

满足

22

3

ab，且()(32)abab，则a与b

的夹角为（）

（A）

4



（B）

2



（C）

3

4



（D）

（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k值为8，则判断框内可

填入的条件是（）

（A）

3

4

s≤（B）

5

6

s≤

（C）

11

12

s≤（D）

25

24

s≤

（8）已知直线l：10()xayaR是圆C：224210xyxy的对称轴，过点(4,)Aa

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作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝（）

（A）2（B）42（C）6（D）210

（9）若tan2tan

5



，则

3

cos()

10

sin()

5













＝（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

10、设双曲线

22

22

1

xy

ab

（0,0ab）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线

交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D。若D到直线BC的距离小于

22aab，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）

（A）(1,0)(0,1)∪（B）(,1)(1,)∪

（C）(2,0)(0,2)∪（D）(,2,)(2,)∪

二、填空题：本大题共6个小题，考生作答第5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题

卡相应的位置上。

（11）设复数(a,bR)abi的模为3，则()()abiabi＝

（12）35

1

()

2

x

x

的展开式中8x的系数是（用数字作答）

（13）在△ABC中，B＝120º，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝

考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给

分。

（14）如题（14）图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC

的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE：ED＝2：1，则BE＝

（15）已知直线l的参数方程为

1

1

xt

yt











（t为参数），以坐标原点为极点，x

轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为2

35

cos24(0,)

44



，则直

线l与曲线C的交点的极坐标为

（16）若函数()12fxxxa的最小值为5，则实数

a

＝。

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）

端午节吃粽子是我国的传统习俗。设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，

白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。

（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；

（Ⅱ）设x表示取到的豆沙粽个数，求x的分布列与数学期望。

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

已知函数2()sin()sin3cos

2

fxxxx





（Ⅰ）求()fx的最小正周期和最大值；

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（Ⅱ）讨论()fx在

2

,

63









上的单调性。

（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）

如题（19）图，三菱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB

＝

2



，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝2，CE＝2EB

＝2。

（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD；

（Ⅱ）求二面角A－PD－C的余弦值。

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）

设函数

23

()()

x

xax

fxaR

e



。

（Ⅰ）若()fx在x＝0处取得极值，确定

a

的值，并求此时曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线

方程；

（Ⅱ）若()fx在3,上为减函数，求

a

的取值范围。

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

如题（21）图，椭圆

22

22

1

xy

ab

（0ab）的左、右焦点分别为

1

F、

2

F，过

2

F的直线交椭圆于P、Q两点，且

1

PQPF。

（Ⅰ）若

1

22PF，

2

22PF，求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若

1

PFPQ，求椭圆的离心率e。

（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

在数列

n

a中，

1

3a，2

11

0

nnnn

aaaa





()nN



。

（Ⅰ）若0,2，求数列

n

a的通项公式；

（Ⅱ）若

00

0

1

(,2),1kNk

k





≥，证明:

0

1

00

11

22

3121k

a

kk



