sir模型

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假设：1.信息具有足够的吸引力，全部人都感兴趣，

并传播。

2.人们对信息在肯定时间内会失去兴趣。

传染病问题中的SIR模型

摘要：

202X年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期

以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探

究制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析

各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS

模型，SIR模型等。在这里我采纳SIR〔Susceptibles，Infectives，Recovered〕模型来研究

如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack

与McKendrick在1927年采纳动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病

开展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种操纵措施的效果，为预防操

纵疾病提供最优决策依据,维护人类健康与社会经济开展。

关键字：传染病；动力学；SIR模型。

一﹑模型假设

1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因

素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者

(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数

占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为

病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，

表示t时刻已从染病者中移出的人数〔这局部人既非已感染者，也非感染病者，不具有

传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。〕占总人数的比例。

2.病人的日接触率〔每个病人每天有效接触的平均人数〕为常数λ，日治愈率〔每

天被治愈的病人占总病人数的比例〕为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触

数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有肯定程度差距，这是因为模型中假设

有效接触率传染力是不变的。

二﹑模型构成

在以上三个根本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：

si

λsi

r

μi

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在假设1中显然有：

s(t)+i(t)+r(t)=1〔1〕

对于病愈免疫的移出者的数量应为

r

t

d

NNi

d

〔2〕

不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为

0

s〔

0

s＞0〕，

0

i〔

0

i＞0〕，

0

r=0.

SIR根底模型用微分方程组表示如下：

di

dt

ds

dt

dr

dt

sii

si

i































〔3〕

s(t)，i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估量s(t)，i(t)的一般变化规

律。

三﹑数值计算

在方程〔3〕中设λ=1，μ=0.3，i〔0〕=0.02，s〔0〕=0.98，用MATLAB软件编程：

functiony=ill(t,x)

a=1;b=0.3;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];

ts=0:50;

x0=[0.02,0.98];

[t,x]=ode45('ill',ts,x0);

plot(t,x(:,1),t,x(:,2))

pause

plot(x(:,2),x(:,1))

输出的简明计算结果列入表1。i(t),s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线,初

值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、

图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时到达最大值,然后减少,t→∞,i→0,s(t)则单调减

少,t→∞,s→0.0398.并分析i(t),s(t)的一般变化规律.

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t012345678

i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247

s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027

t91045

i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010

s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398

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表1i(t),s(t)的数值计算结果

四﹑相轨线分析

我们在数值计算和图形观察的根底上，利用相轨线商量解i〔t〕,s〔t〕的性质。

i~s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域〔s，i〕∈D为

D=｛〔s，i〕|s≥0，i≥0，s+i≤1｝〔4〕

在方程〔3〕中消去

t

d并注意到σ的定义，可得

1

1i

s

d

d









sσ

，

0

0

|

ss

ii



〔5〕

所以：

1

1

is

dd









sσ



00

i1

1s

is

is

dd











sσ

〔6〕

利用积分特性简单求出方程(5)的解为：

00

0

1

()ln

s

isis

s

〔7〕

在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的

增加s(t)和i(t)的变化趋向.

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下面依据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作

s



,i



和r



)。

1.不管初始条件s0,i0如何,病人消逝将消逝,即：

0

0i〔8〕

其证明如下：

首先,由(3)0s

t

d

d

而

()0st

故s



存在;由(2)0

t

dr

d

而

()1rt

故r



存

在;再由(1)知i



存在。

其次,假设0i



则由(1),对于充分大的t有

2

t

dr

d



,这将导致r



，与r



存在

相矛盾.从图形上看,不管相轨线从P1或从P2点出发,它终将与s轴相交(t充分大).

2.最终未被感染的健康者的比例是s



,在(7)式中令i=0得到,s



是方程

00

0

1

ln0

s

sis

s





〔9〕

在(0,1/σ)内的根.在图形上s



是相轨线与s轴在(0,1/σ)内交点的横坐标.

3.假设

0

s>1/σ,则开始有

1

1i

s

d

o

d









sσ

，i(t)先增加,令

1

1i

s

d

d









sσ

=0，可得当s=1/

s



1/

D

2

P

1

P

s

i

m

i

o

i



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σ时,i(t)到达最大值：

000

1

1ln)

m

isis



（

〔10〕

然后s<1/σ时，有

1

1i

s

d

o

d









sσ

，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s



,如图3中

由P1(

0

s，

0

i)出发的轨线.

4.假设

0

s1/σ,则恒有

1

10i

s

d

d









sσ

，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s



,如图3

中由P2(s0,i0)出发的轨线.

可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一

个阈值,当

0

s>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使

得

0

s≤1/σ(即σ≤1/

0

s),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值

0

s是肯定的,通常可认为

0

s接近1)。

并且,即使

0

s>1/σ,从(19),(20)式可以看出,σ减小时,s



增加(通过作图分析),

m

i降低,

也操纵了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗

水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于操纵传染病的

蔓延.

从另一方面看,

1/ss•

是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,

其含义是一病人被s

个健康者交换.所以当

0

1/s即

0

1s时必有.既然交换数不超

过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。

五﹑群体免疫和预防

依据对SIR模型的分析,当

0

1/s时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫

生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低

0

s,这可以通过比方预防接种使群

体免疫的方法做到.

忽略病人比例的初始值

0

i有

0

0

1sr,于是传染病不会蔓延的条件

0

1/s可以表为

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0

1

1r





(11)

这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例〔即免疫比例〕满足〔11〕式，就

可以制止传染病的蔓延。

这种方法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。

据估量当时印度等国天花传染病的接触数σ=5，由〔11〕式至少要有80%的人接受免疫才

行。据世界卫生组织汇报，即使花费大量资金提高

0

r，也因很难做到免疫者的均匀分布，

使得天花直到1977年才在全世界铲除。而有些传染病的σ更高，铲除就更加困难。

六﹑模型验证

上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎全部病人都死亡了。死亡相当于移出传染

系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了r

t

d

d

的实际数据，Kermack等人用这组数

据对SIR模型作了验证。

首先，由方程〔2〕，〔3〕可以得到s

r

t

d

d

sisis

ddt



1

sr

dd

s



t

上式两边同时乘以d可，两边积分得

00

0

1sr

sr

sr

dd

s





0

ln|s

s

sr

0

r

s

e

s



所以：()

0

()rtstse(12)

再

0

(1)(1)r

r

t

d

irsrse

d

(13)

当

1/r

时，取〔13〕式右端reTaylor展开式的前3项得：

22

0

00

(1)

2

r

t

sr

d

rssr

d





在初始值

0

r=0下解高阶常微分方程得:

0

2

0

1

()(1)()

2

t

rtsth

s















(14)

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其中222

000

(1)2ssi，0

1s

th











从而简单由〔14〕式得出：

2

22

0

2()

2

r

t

d

t

d

sch











〔15〕

然后取定参数s0,σ等，画出〔15〕式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用

圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。

七﹑被传染比例的估量

在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值

0

s与s



之

差，记作x,即

0

xss



(16)

当i0很小，s0接近于1时，由〔9〕式可得

0

1

ln(1)0

x

x

s

(17)

取对数函数Taylor展开的前两项有

2

00

1

(1)0

2

x

x

ss

(18)

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记

0

1

s





,可视为该地区人口比例超过阈值

1



的局部。当

1







时〔18〕式给出

00

1

22xss











〔19〕

这个结果说明，被传染人数比例约为的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医

疗水平不变，即不变时，这个比例就不会改变。而当阈值

1



提高时，减小，于是这个

比例就会降低。

八﹑评注

该模型采纳了数值计算,图形观察与理论分析相结合的方法,先有感性认识(表1,图1,图

2),再用相轨线作理论分析,最后进行数值验证和估算,可以看作计算机技术与建模方法的巧

妙配合。可取之处在于它们比拟全面地到达了建模的目的,即描述传播过程、分析感染人数

的变化规律,预测传染病高潮到来时刻,度量传染病蔓延的程度并探究制止蔓延的手段和措

施。