dirextx

DirectX数学介绍

本⽂为Introductionto3DGameProgrammingwithDirectX11读书笔记

坐标系统

DirectX使⽤的是左⼿坐标系，使⽤左⼿坐标系计算叉乘的时候⽅向⽤左⼿决定

书上给的图如下

VectorAlgebra

win10已经把DirectX11集成到了windowsSDK中，所以如果是使⽤win10做开发，则不需要⼿动下载DirectX11的类库。

对于D3D11，数学计算库⽤XNAMathlibrary，该库提供了SIMD指令的封装，SIMD是单指令多数据，简⽽⾔之就是计算速度更快，所

以在每当要做计算的时候就要对矩阵、向量等做类型转换。

要使⽤XNAMathlibrary只要，原先是xnmath.h，但是早就不可⽤了，下⾯是正确的

SIMD⼀条指令使⽤多个数据，⽐如4个32位的数都放到⼀个128位的寄存器上，然后执⾏⼀次运算指令，得到输出，这样对于同样的操

作，执⾏4次指令，得到输出要快⼤约4倍。

XNAMath定义的可以执⾏SIMD的Vector类型是XMVECTOR，这是⼀个128位的类型，可以⽤SIMD指令处理4个32位的浮点数。如果

机器⽀持SSE2，则将会有定义

XMVECTOR需要16位对齐，对于局部变量和全局变量都是如此，上⾯解释了SIMD，需要把整块数据都移到寄存器上，但这都是⾃动完成

的。

对于⼀般的类中使⽤的变脸则使⽤⼀般的struct类型就⾏了，只有在需要计算的时候才做转换。

⼀般的类型基本如下，之后说到的矩阵也是类似的情况。

XMFLOAT*类型与XMVECTOR类型的相互转换。

#include

#include

usingnamespaceDirectX;

usingnamespaceDirectX::PackedVector;

typedef__m128XMVECTOR;

typedefstruct_XMFLOAT2{

FLOATx;

FLOATy;

}XMFLOAT2;

typedefstruct_XMFLOAT3{

FLOATx;

FLOATy;

FLOATz;

}XMFLOAT3;

typedefstruct_XMFLOAT4{

FLOATx;

FLOATy;

FLOATz;

FLOATw;

}XMFLOAT4;

有很多⽅法都已经被DirectXMath⾼效的实现了，要善⽤⾼效的⽅法。

MatrixAlgebra

矩阵的情况跟向量的⼀样，简单说⼀下常⽤的矩阵的性质：

⾏列式

矩阵的⾏列式在计算逆矩阵的时候会⽤到，，更多的看wiki，⾏列式返回⼀个实数

//LoadsXMFLOAT2intoXMVECTOR

XMVECTORXMLoadFloat2(CONSTXMFLOAT2*pSource);

//LoadsXMFLOAT3intoXMVECTOR

XMVECTORXMLoadFloat3(CONSTXMFLOAT3*pSource);

//LoadsXMFLOAT4intoXMVECTOR

XMVECTORXMLoadFloat4(CONSTXMFLOAT4*pSource);

//Loads3-elementUINTarrayintoXMVECTOR

XMVECTORXMLoadInt3(CONSTUINT*pSource);

//LoadsXMCOLORintoXMVECTOR

XMVECTORXMLoadColor(CONSTXMCOLOR*pSource);

//LoadsXMBYTE4intoXMVECTOR

XMVECTORXMLoadByte4(CONSTXMBYTE4*pSource);

//LoadsXMVECTORintoXMFLOAT2

VOIDXMStoreFloat2(XMFLOAT2*pDestination,FXMVECTORV);

//LoadsXMVECTORintoXMFLOAT3

VOIDXMStoreFloat3(XMFLOAT3*pDestination,FXMVECTORV);

//LoadsXMVECTORintoXMFLOAT4

VOIDXMStoreFloat4(XMFLOAT4*pDestination,FXMVECTORV);

//LoadsXMVECTORinto3elementUINTarray

VOIDXMStoreInt3(UINT*pDestination,FXMVECTORV);

//LoadsXMVECTORintoXMCOLOR

VOIDXMStoreColor(XMCOLOR*pDestination,FXMVECTORV);

//LoadsXMVECTORintoXMBYTE4

VOIDXMStoreByte4(XMBYTE4*pDestination,FXMVECTORV);

FLOATXMVectorGetX(FXMVECTORV);

FLOATXMVectorGetY(FXMVECTORV);

FLOATXMVectorGetZ(FXMVECTORV);

FLOATXMVectorGetW(FXMVECTORV);

XMVECTORXMVectorSetX(FXMVECTORV,FLOATx);

XMVECTORXMVectorSetY(FXMVECTORV,FLOATy);

XMVECTORXMVectorSetZ(FXMVECTORV,FLOATz);

XMVECTORXMVectorSetW(FXMVECTORV,FLOATw);

类型定义

//32-bitWindows

typedefconstXMVECTORFXMVECTOR;

typedefconstXMVECTOR&CXMVECTOR;

//64-bitWindows

typedefconstXMVECTOR&FXMVECTOR;

typedefconstXMVECTOR&CXMVECTOR;

伴随矩阵

设矩阵，将矩阵A的元素所在的第i⾏第j列元素划去后，剩余的个元素按原来的排列顺序组成的n-1阶矩阵所确定的⾏列式称为元素的余⼦

式，记为，称为元素的代数余⼦式。

⽅阵的各元素的代数余⼦式所构成的如下矩阵：

该矩阵称为矩阵A的伴随矩阵。

逆矩阵

当然最基础还是矩阵与逆矩阵的乘机为单位矩阵

XNA类型跟Vector⾮常类似

TRANSFORMATIONS

下⾯说到的矩阵变换表⽰都是对向量右乘⼀个矩阵，对向量执⾏矩阵的变换

缩放

矩阵表⽰，沿着轴旋转的缩放系数分别是

其逆矩阵为

例⼦

旋转

绕任意轴旋转，⽐如绕轴旋转，假设为单位长度。此时向量v要绕着轴n旋转⾓度，得到。把v分解为平⾏于n的部分和垂直于n的部分.

由上图可以得到

把上⾯公式写成跟公式(1)类似的，对向量做旋转，矩阵形式如下，其中：

⽽且该矩阵为正交矩阵，正交矩阵的逆为其转置

则作为特殊情况，绕轴分别旋转的旋转矩阵分别如下

仿射变换

仿射变换就是带偏移的线性变换，可以表⽰为如下：

但是上⾯的写法很⿇烦，所以⽤4维向量和矩阵计算将会更简洁⾼效，因为GPU本⾝就是并⾏运算能⼒超强。

所以上⾯改写为如下：

上⾯是对点的变换，所以把最后⼀项设置为1，因为点有偏移；但是，对于向量来说，是没有偏移这个概念的，所以最后⼀项设置为0。这

样的4维向量和矩阵才是图形学中常⽤的形式。

移动

转移矩阵可以写为

其逆矩阵

对缩放和旋转的仿射矩阵

仿射变换矩阵的⼏何解释

上⾯介绍的仿射变换就是旋转/缩放，移动

⽤公式表⽰如下（其中对于顶点，对于向量）:

因为矩阵有结合律但没有交换律，所以矩阵相乘最后作⽤于对象的顺序⾮常关键，是先旋转再平移与先平移再旋转有很⼤差别。

坐标系变换

摄⽒度与华⽒度表⽰相同的问题时数字⼤⼩是不⼀样的，不同的基底（坐标系）之间的转换得到相同坐标不同的表⽰。

对基底的变换与做顶点和向量的变换不同，刚好是完全相反的。

简单的坐标系统变换

顶点和向量的坐标转换，将坐标系A下的顶点表⽰转换为坐标系B下的顶点表⽰。

跟之前介绍的⼀样，表⽰对向量的坐标系变换，表⽰对顶点的变换。

上式写成矩阵形式

其中分别表⽰原点以及齐次坐标系A相对于齐次坐标系B的轴。

给个例⼦，如下图：

⽐较转换矩阵和坐标系变换矩阵

TRANSFORMATIONMATRIXVERSUSCHANGEOFCOORDINATEMATRIX

其实两者数学上是等价的，不同之处在于理解和解释转换的⽅式有所不同

XNA的实现

在XNA中，所有这些转换都已经实现了

//Constructsascalingmatrix:

XMMATRIXXMMatrixScaling(

FLOATScaleX,

FLOATScaleY,

FLOATScaleZ);//Scalingfactors

//Constructsascalingmatrixfromcomponentsinvector:

XMMATRIXXMMatrixScalingFromVector(

FXMVECTORScale);//Scalingfactors(sx,sy,sz)

//Constructsax-axisrotationmatrix:Rx

XMMATRIXXMMatrixRotationX(

FLOATAngle);//Clockwiseangleθtorotate

//Constructsay-axisrotationmatrix:Ry

XMMATRIXXMMatrixRotationY(

FLOATAngle);//Clockwiseangleθtorotate

//Constructsaz-axisrotationmatrix:Rz

XMMATRIXXMMatrixRotationZ(

FLOATAngle);//Clockwiseangleθtorotate

//Constructsanarbitraryaxisrotationmatrix:Rn

XMMATRIXXMMatrixRotationAxis(

FXMVECTORAxis,//Axisntorotateabout

FLOATAngle);//Clockwiseangleθtorotate

//Constructsatranslationmatrix:

XMMATRIXXMMatrixTranslation(

FLOATOffsetX,

FLOATOffsetY,

FLOATOffsetZ);//Translationfactors

//Constructsatranslationmatrixfromcomponentsinavector:

XMMATRIXXMMatrixTranslationFromVector(

FXMVECTOROffset);//Translationfactors(tx,ty,tz)

//Computesthevector-matrixproductvM:

XMVECTORXMVector3Transform(

FXMVECTORV,//Inputv

CXMMATRIXM);//InputM

//Computesthevector-matrixproductvMwherevw=1fortransformingpoints:

XMVECTORXMVector3TransformCoord(

FXMVECTORV,//Inputv

CXMMATRIXM);//InputM

//Computesthevector-matrixproductvMwherevw=0fortransformingvectors:

XMVECTORXMVector3TransformNormal(

FXMVECTORV,//Inputv

CXMMATRIXM);//InputM